ナビエ・ストークス方程式
微小体積$dV=(dV_x, dV_y, dV_z)$
$dV$の面$dS$
流体の速度$u(x,y,z)$
$dV$内における単位時間の流体質量の増加量は
$$
\frac{\partial\rho }{\partial t}dV
$$
単位は$[\mathrm{kg/s}]$
単位時間における流入質量$Q$、流出質量$Q'$は、
$$
Q=Q'
$$
また、$Q$と$Q'$の差は単位時間の流体質量の増加量であるため、
$$
Q-Q'=\frac{\partial\rho }{\partial t}dV=0
$$
図のような座標系で考えると、
$$
\begin{aligned}
Q_x&=\rho u(x,y,z)\cdot dS\\
Q'_x&=\rho' u(x',y',z')\cdot dS'
\end{aligned}
$$
かつ、
$$dS=dS'=dV_y dV_z$$
$$
u(x',y',z')=u(x+dV_x,y,z)
$$
即ち、
$$
\begin{aligned}
Q_x&=\rho u(x,y,z)\cdot dV_y dV_z\\
Q'_x&=\rho' u(x+dV_x,y,z)\cdot dV_y dV_z
\end{aligned}
$$
$Q_x-Q'_x$について、
$$
\rho u(x,y,z)\cdot dV_y dV_z-\rho' u(x+dV_x,y,z)\cdot dV_y dV_z
$$
非圧縮性流体の場合、$\rho=\rho'=const.$
$$
u(x,y,z)\cdot dV_y dV_z-u(x+dV_x,y,z)\cdot dV_y dV_z
$$
$-\frac{dV_x}{dV_x}$を掛ける
$$
\begin{aligned}
&\frac{u(x+dV_x,y,z)}{dV_x}\cdot dV_x dV_y dV_z-\frac{u(x,y,z)}{dV_x}\cdot dV_x dV_y dV_z\\
&\frac{u(x+dV_x,y,z)}{dV_x}\cdot dV-\frac{u(x,y,z)}{dV_x}\cdot dV\\
&\frac{u(x+dV_x,y,z)-u(x,y,z)}{dV_x}
\end{aligned}
$$
極限にすると、偏微分の定義と同じ
$$
\begin{aligned}
&\lim_{dV_x\to0}\frac{u(x+dV_x,y,z)-u(x,y,z)}{dV_x}\\
&\frac{\partial u(x,y,z)}{\partial dV_x}
\end{aligned}
$$運動量保存則
$$
\rho(\partial_t \mathbf{u}+\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u})-\nabla\cdot(2\mu\mathbf{D})+\nabla p=f
$$
$\mathbf{D}=\frac{1}{2}(\nabla u+\nabla u^\intercal)$
$f=\rho g$
変形速度テンソル