研究メモ ~微細毛表現編~

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noSlip境界条件は流体力学における仮定としてよく用いられるが、厳密には物理的根拠が無い¹。特にミクロスケールの流体力を議論するときに考慮すべき問題点と言えそうだ

分子動力学のシミュレーションによって、接触角が大きい場合には流体と壁の間に数Å（$1\mathrm{Å}=10^{-10}\mathrm{m}$）の気体層が形成されることを示している¹。

複合面におけるぬれ特性

表面が空気と固相の複合面である場合, Cassie-Baxterの式によってモデルを簡易化される²

$\phi[rad]$：複合面上の接触角
$\theta[rad]$：固相-液相間の接触角
$f_s[-]$：固相の表面積比
$f_g[-]$：気体の表面積比

• Cassie-Baxterの式は, Cassieの式の素材の一方を空気に限定して簡略化したものであり, 空気と水との接触角は一般に$180^{\circ}$, 空気の占有率が増えるほど接触角は増大
• 他にWenzelの式も存在するが, 少なくとも漕ぎ動作中, 水が微細毛の間に浸入しないことが示されているため³, ここでは考慮しないが, 跳躍時の微細毛の水没に関しては, 議論の余地が残されている
• Cassie , Wenzelの式は正確性が否定されている側面も存在⁴
• 複合面での動的接触角については, 現状具体的なモデルは示されていないものと思われる

滑り長を用いた粘性表現

• 微細毛で水と接した場合, 接触面積はより小さくなるため, 水の粘性を受けづらく, 結果的にアメンボは慣性である程度移動することができるが, 跳躍時にも同じように慣性力が働くため, 本研究においても粘性表現は重要
• 微細毛による粘性効果を形状ではないやり方で再現するには, 肢の境界条件を独自のものに変更する必要があり, 滑り長の利用を検討
  $$ v_f=b\frac{\partial v}{\partial z} $$
• 滑り長$b$は値によってSlip状態, noSlip状態も表すことが可能
• この滑り長b に関しては, 次式のように定義される⁵
  $$ b=\frac{\eta}{\lambda} $$
  $b[m]$：滑り長
  $\eta[Pa\cdot s]$：液体のせん断粘度
  $\lambda[-]$：界面摩擦係数

滑り長の計算と方向性

理想的な滑らかな固相表面では、接触角の増加とともに滑り長が単調増加する⁵

$b[nm]$：滑り長
$\theta[rad]$：固相-液相間の静的接触角
$A[-]$：固相-液相間の静電相互作用

Aは、固相、液相の正負電荷に基づく相互作用に依存した係数である

ただし、場合によっては接触角の変化と滑り長の変化が1対1対応の単調増加を示さないケースも存在することが示唆されている⁶

濡れ性が異なる表面をストライプ状に配置した場合、滑り長は流れの向きによって変化する
ストライプの幅と流路高さが等しく、かつ小さい場合、その滑り長$b_{e}$はそれぞれの濡れ性の滑り長と、流れの向き$\theta$で近似できる⁵

$b_e[m]$：全体の滑り長
$b_1, b_2[m]$：各表面の滑り長
$\theta[rad]$：流れの向き（ストライプ方向に対して垂直のとき$\theta=0$）

これは方向性による滑り長の変化を表現できるものの、限定的な状況下における近似である

$\theta=0$に限定すれば、各表面の滑り長がストライプの1周期分の長さより小さい場合、以下の近似が可能である

$b_e[m]$：全体の滑り長
$f_1[-]$：滑り長$b_1$を持つ表面の面積比（$0\leqq f_{1}\leqq 1$）
$b_1, b_2[m]$：各表面の滑り長

3次元空間においては、ストライプ構造の方向性を再現するために、滑り長テンソルを用いて、動的な滑り長を実装する必要がある

Cassie状態の表面の滑り長を記述するには、気相と液相間の滑り長を定義した上で、先の近似式を適応する

古典的GasCushionモデルでは、気相-液相間の局所的な滑り長を以下で与える

$b_g[m]$：気相-液相間の滑り長
$\mu_l[Pa\cdot s]$：液相の粘度
$\mu_g[Pa\cdot s]$：気相の粘度
$t[m]$：気体層の厚さ

OpenFOAMにおける境界条件

partial slip boundary（部分滑り境界条件）は境界条件がすでに実装されているOpenFOAMv2012/src/finiteVolume/fields/fvPatchFields/derived/partialSlip

この条件では以下のような計算が行われている

$U_{out}[m/s]$：境界接線流速（出力）
$f[-]$：流速に基準値（$U_{ref}$）を含める割合（0~1）
$U_{ref}[m/s]$：境界の基準値
$U_{in}[m/s]$：境界接線流速（入力）

$U_{ref}$が0のとき、$f$が0に近づくほど滑りやすく、$f$が1に近づくほど滑りにくくなる
混合境界条件とは異なり、壁境界であるためパッチの法線方向に対しては$f=1$として別で計算される
また、この境界条件はDynamicMeshに非対応

DynamicMeshで使用される壁境界条件は基本movingWallVelocityであるOpenFOAMv2012/src/finiteVolume/fields/fvPatchFields/derived/movingWallVelocity

const vectorField Up((pp.faceCentres() - oldFc)/deltaT);

$\mathbf{U}_p[m/s]$：メッシュ移動速度
$\mathbf{x}_f[m]$：faceの位置
$i[-]$：イテレーション
$\Delta t[s]$：微小時間

tmp<scalarField> Un = phip/(magSf + VSMALL);

$U_n[m/s]$：流速の法線成分
$U_m[m/s]$：メッシュ速度
$\mathbf{S}_f[m^3/s]$：faceの体積流量
$|\mathbf{S}_f|[m^2]$：faceの面積
$V_{small}[-]$：ゼロ除算防止用の微小量

即ち、

$\mathbf{n}[m]$：単位法線ベクトル

vectorField::operator=(Up + n*(Un - (n & Up)));

結局のところ$\mathbf{U}$は壁面の速度だが、流体が壁を貫通することを防ぐため、接線と法線成分を一度分解、法線に流量との整合をとった$U_n$を用いて、再結合している
$\mathbf{U}_p-\mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot \mathbf{U}_p)$は$\mathbf{U}_p$から法線成分を抜いたもの（=$\mathbf{U}$の接線成分）

navierSlip境界条件

壁面が静止している場合

navierSlipの式は、

$U_h[m/s]$：$h$位置の流速
$b[-]$滑り長
$U[m/s]$：流速
$h[m]$：境界面からの法線距離

$\frac{\partial U}{\partial h}$を離散表現に書き直すと、

$U_f[m/s]$：境界面（face）の流速
$U_c[m/s]$：セル中心の速度（＝メッシュ速度$U_p$）
$\Delta h_f[m]$：セル中心から境界面までの距離

式変形して、

この式は幾何学的にも導くことができる

セル中心を原点とした2次元平面において、境界面の速度は図の$P_2$のx座標に当たる
セル単位で離散化した場合、流速のsourceは$U$だけなので、線形に減衰するものと考えられる（クエット流れと同じ状態）
この減衰の傾きは$P_3$と$P_1$から差分をとって、かつ切片を含めた一次式とすると、

$x$についての式に変形すると

境界面$y=-\Delta h_f$を代入すると

壁面が動いている場合

流体は静止し、壁だけが動いている場合を考えてみる（下図）
壁が速度$U_w$で動いているとき、流体は相対的に$-U_w$で動いているように見える
このとき、境界面の流速は$U_f$分だけ減衰する
noSlipの場合、$U_f=0$で境界面の流速は$U_w$となる（滑らないということは壁の速度に引きずられる）
即ち、境界面の流速は$U_w+U_f$で得られる
$U_f$を先と同じように解くと、

つまり、境界面の流速$U_{wf}$は

流体が動いている場合でも、双方の入力（$U_c,U_w$）から減衰させた速度の和を求めればよい

また、$\frac{\Delta h_f}{b+\Delta h_f}+\frac{b}{b+\Delta h_f}=1$であるため、

OpenFOAMに実装する上で、CRC-1194のopenfoam-navier-slipを使用した（ソースコードの可読性がヤバい）
各境界条件におけるクエット流れの解析結果は以下

• 二次元クエット流れ

文献