表面張力波のよる解析安定基準の設定

表面張力波の分散関係は,（Wikipediaでは$\|k\|$だが, $k=2\pi/\Delta x>0$なので絶対値は外れる）

また, 波の位相速度$c_{\phi}$は,（Wikipedia）

$$c_{\phi}=\frac{\omega}{k}$$

$$ c_\phi=\frac{1}{k}\sqrt{\frac{\sigma k^3}{\rho_1+\rho_2}}=\sqrt{\frac{1}{k^2}}\sqrt{\frac{\sigma k^3}{\rho_1+\rho_2}}=\sqrt{\frac{\sigma k}{\rho_l+\rho_g}} $$

ここで考えていることは, 「最大時間刻みが少なくとも最大位相速度を許容できれば安定するだろう」ということだと思われる.

つまるところ, $\Delta t$における位相の変位がセルサイズ$\Delta x$を超えないようにしたい.
これを単純に考えると,

$$c_\phi\Delta t<\Delta x$$

$$\frac{c_\phi\Delta t}{\Delta x}<1$$

格子間隔$\Delta x$で, 正確な振幅を表現できる最小の波長は, $2\Delta x$である.（下図）
標本化定理と同じ考え方
なので実際のところは、最低でも$4\Delta x$

Fig1

$k=2\pi/\lambda$において、$2\pi$は1波長分の回転角度であり、波数$k$は単位長さあたりの位相の回転角度を表す

よって、最小の波長$2\Delta x$のとき、波数は最大となる

$$k_{max}=\frac{2\pi}{2\Delta x}=\frac{\pi}{\Delta x}$$

これでやっと$\left(\Delta t\right)_\sigma$が出てくる. 以下導出.

$$\frac{c_\phi\Delta t}{\Delta x}<\frac{1}{2}$$

$c_\phi$に代入, 波長を最小として, $k=k_{max}$

$$
\begin{aligned}
\frac{\Delta t}{\Delta x}\sqrt{\frac{\sigma k_{max}}{\rho_1+\rho_2}}&<\frac{1}{2}\

\frac{\Delta t}{\Delta x}&<\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\rho_1+\rho_2}{\sigma\frac{\pi}{\Delta x}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\rho_1+\rho_2}{\sigma}\cdot\ \frac{\Delta x}{\pi}}\

\Delta t&<\frac{\Delta x}{2}\sqrt{\frac{{(\rho}_1+\rho_2)\Delta x}{\sigma\pi}}\

\Delta t&<\sqrt{\frac{\Delta x^2}{4}}\sqrt{\frac{{(\rho}_1+\rho_2)\Delta x}{\sigma\pi}}\

\Delta t&<\sqrt{\frac{\left(\rho_1+\rho_2\right)\Delta x^3}{4\sigma\pi}}\

\end{aligned}

$$ 即ち, $$

\left(\Delta t\right)_\sigma=\sqrt{\frac{\left(\rho_1+\rho_2\right)\Delta x^3}{4\sigma\pi}}$$